Barisan Bilangan “Kelinci”

Oleh: Al Jupri

Perhatikan barisan bilangan berikut ini!

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

Ya, barisan bilangan seperti ini sering kita jumpai pada saat mengikuti psikotes, bagian tes melengkapi bilangan. Bagi kita yang mempunyai number sense cukup baik, biasanya tak sukar melengkapi barisan bilangan tersebut. Tetapi, bagi yang “mual” melihat barisan bilangan semacam itu, biasanya agak kesulitan melengkapinya.

Terlepas apakah kita merasa suka ataupun tidak dengan barisan bilangan, di sini saya akan bercerita sekitar barisan tersebut dan juga asal-muasalnya. Mau tahu? Kalau mau, mari kita simak bareng-bareng! (Jangan dijawab mari ya! :mrgreen: ).

Pertama kali saya mengenal barisan bilangan tersebut ketika saya baru duduk di bangku SMP kelas 3, sekitar tahun 1997, pada saat pelajaran matematika. Kata guru matematika saya, barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... disebut sebagai barisan bilangan Fibonacci. Waktu itu yang dipelajari hanyalah sifat-sifatnya alias aturan tentang barisan bilangan tersebut.

Seperti apa sih aturannya?

Aturannya yaitu, diberikan dua bilangan awal yakni 1 dan 1. Bilangan berikutnya diperoleh dengan cara menjumlahkan dua bilangan sebelumnya. Dalam hal ini bilangan 2 diperoleh dari penjumlahan dua bilangan sebelumnya yaitu 1 + 1. Bilangan 3 diperoleh dari 1 + 2 . Begitu seterusnya! Secara sederhana, lebih jelasnya seperti berikut ini.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

Dengan

2 = 1 + 1

3 = 1 + 2

5 = 2 + 3

8 = 3 + 5

Dan seterusnya!

Sehingga, dengan relatif mudah, bilangan setelah 21 adalah 13 + 21 = 34. Mudah bukan? :D

Sebetulnya saat belajar barisan bilangan Fibonacci ini saya sedikit bertanya tentang Fibonacci. Siapa Fibonacci itu? Kenapa muncul barisan semacam itu? Tetapi saya tak menanyakannnya ke guru saya. Seingat saya, beliau hanya mengatakan bahwa Fibonacci itu adalah seorang matematikawan. Tetapi tak lebih lanjut bercerita tentangnya dan juga tak bercerita kenapa barisan tersebut muncul. Tidak berceritanya beliau, mungkin karena belum tahu atau mungkin juga karena beliau menganggap cerita tentang Fibonacci itu tidak penting.

Waktu terus berjalan. Detik, menit, jam, hari, minggu, bulan, dan tahun pun terus “merangkak”. Rentetan “kebetulan” pun kemudian terjadi!

Ketika saya menjadi mahasiswa baru, sekitar tahun 2000-an, saya ditanya-tanya (diospek) oleh kakak tingkat tentang barisan bilangan Fibonacci ini. Waktu itu pertanyaannya sederhana saja, yaitu disebut apa dan bagaimana aturan barisan bilangan tersebut? Dan alhamdulillah, karena sudah dipelajari sewaktu SMP, saya pun bisa menjawabnya dengan mudah dan untuk sementara lepaslah dari jerat hukuman walau selanjutnya dipaksa push up juga. :D

Selanjutnya, sewaktu belajar Kalkulus dan juga Matematika Diskrit, saya pun mempelajari tentang barisan bilangan Fibonacci ini. Tentunya dengan kedalaman materi yang sesuai. Tetapi pertanyaan saya tentang siapa Fibonacci dan latar belakang muncul barisan itu belum terjawab! Ya belum terjawab dari segi historisnya.

Lagi-lagi kebetulan terjadi! Saya yang mulanya sudah cukup puas, dan kurang begitu hirau dengan latar belakang munculnya barisan Fibonacci ini, ditanya oleh teman saya tentang barisan ini. Dan menariknya, pertanyaannya sama dengan pertanyaan saya yang sudah sejak lama terpendam tersebut. Ketika ditanya, saya pun jujur menjawab belum tahu!

Selanjutnya, dan sepertinya sudah diatur, kebetulan berikutnya pun terjadi! Bersyukur, ternyata ada seorang teman saya yang lain yang sudah tahu latar belakang tentang barisan Fibonacci tersebut. Teman saya yang sebelumnya bertanya ke saya kemudian bertanya ke teman saya yang tahu tersebut. Saya sebetulya tidak terlalu hirau, namun sayup-sayup terdengar penjelasan teman saya (yang tahu tadi) bahwa latar belakang munculnya barisan Fibonacci adalah untuk menggambarkan pertumbuhan sepasang kelinci selama setahun, yang pertama kali diajukan oleh Fibonacci, matematikawan Italia yang hidup sekitar abad 12.

Selanjutnya, setelah mendengar kabar sayup-sayup tadi, saya pun jadi penasaran lagi. Dan tidak kebetulan lagi, saya waktu itu berniat mencari tahu tentang hal tersebut. Dari dunia maya ini, lewat bantuan mesin pencari, maka rasa ingin tahu saya pun terjawab!

Oh, iya. Seperti apa sih masalah yang diajukan Fibonacci tadi yang melatarbelakangi munculnya barisan bilangan tersebut?

Permasalahan yang diajukan oleh Fibonacci itu sederhananya seperti berikut ini.

Misalkan kita tempatkan sepasang kelinci muda (satu jantan, satu lagi betina) di sebuah padang rumput. Sepasang kelinci tersebut diasumsikan tumbuh jadi dewasa dan bisa kawin setelah mereka berumur satu bulan. Sehingga di akhir bulan ke dua, pasangan kelinci tadi melahirkan sepasang kelinci baru. Bila kita asumsikan bahwa kelinci-kelinci tersebut hidup ideal alias tidak lekas mati dan betina kelinci selalu melahirkan sepasang kelinci (satu jantan, satu betina) setiap bulan semenjak akhir bulan kedua tadi, maka akan ada berapa pasang kelinci kah dalam waktu setahun?*

Lalu, bagaimana memecahkan permasalahan ini?

Dengan relatif mudah, ternyata permasalahan tersebut dapat dijelaskan dan dijawab seperti tampak pada gambar* berikut ini



Keterangan Number of pairs (Banyaknya pasangan).

1 pasang: ketika awal bulan pertama (sepasang kelinci muda, baru mulai tumbuh jadi dewasa)

1 pasang: ketika akhir bulan pertama (sepasang kelinci muda tadi sudah dewasa dan mulai kawin)

2 pasang: ketika akhir bulan ke dua (sepasang kelinci tadi melahirkan sepasang kelinci lagi yang serupa)

3 pasang: ketika akhir bulan ke tiga (pasangan kelinci pertama melahirkan lagi sepasang kelinci muda baru, pasangan kelinci yang bulan lalu lahir mulai tumbuh dewasa).

5 pasang: ketika akhir bulan ke empat (pasangan kelinci pertama melahirkan sepasang kelinci baru, pasangan kelinci kedua pun melahirkan sepasang kelinci baru juga, sedangkan sepasang kelinci yang lahir bulan lalu baru tumbuh dewasa).

Dan begitu seterusnya! Sehingga, dengan sangat gampang, banyaknya pasangan kelinci tiap bulan tersebut digambarkan dengan barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,.... Lalu ada berapa pasang kelinci setelah setahun? (Silakan dijawab!) :D

Nah, karena barisan bilangan tersebut muncul gara-gara pertama kali, katanya, dikemukakan oleh Fibonacci maka disebutlah barisan tersebut sebagai barisan bilangan Fibonacci.

Akhirnya, karena saya melihat barisan bilangan Fibonacci tersebut menggambarkan banyaknya pasangan kelinci yang tumbuh berkembang di suatu padang rumput yang ideal, maka dengan sedikit becanda saya sebutlah barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... sebagai barisan bilangan “kelinci”.

Read More

METRIS: Solusi Akar Pangkat Tiga_Bilangan Prima

Tulisan ini dituangkan untuk memberikan informasi baru kepada pembaca
adanya Ilmu Hitung Baru dibidang pendidikan aritmatika.


METRIS: SOLUSI AKAR PANGKAT TIGA – BILANGAN PRIMA
Pikiran saya dibuat cukup terperanjat ketika tiba-tiba ada
sebuah pesan singkat sms yang masuk ke HP saya. Pesan itu dikirim dari
seorang guru SD yang pernah mengikuti pelatihan Metode Horisontal
(Metris). Begini isi pesan tersebut "Selamat sore pak, maaf mengganggu,
pak apakah bisa metris digunakan untuk mencari akar pangkat tiga
bilangan jutaan dengan hasil bilangan prima? terima-kasih pak, Ephi".
Waktu itu saya belum terpikirkan untuk memecahkan masalah tersebut, akan
tetapi saya optimis pasti bisa hanya butuh waktu untuk mencari
solusinya. Kemudian dengan segera saya balas sms tersebut "Ibu Ephi,
pemecahannya akan saya coba cari ya, mungkin sekitar dua minggu lagi ibu
akan saya beritahu hasilnya, terima-kasih juga, Ivan".

Itulah sepenggal cerita di atas yang mengawali metris sebagai metode
untuk memecahkan soal akar pangkat tiga. Bilangan prima adalah bilangan
yang hanya bisa dibagi oleh bilangan itu sendiri dan satu. Metode
konvensional untuk mencari akar pangkat tiga menggunakan cara pohon
faktor. Akan tetapi dengan cara ini menjadi terlalu lama untuk mencari
akar pangkat tiga bilangan jutaan terlebih bila hasilnya ternyata
merupakan bilangan prima.

Setelah waktu dua minggu berlalu saya memberitahu ibu Ephi kalau ada
kesempatan bisa datang ke kantor, akan saya beritahu rahasianya. Tanpa
menunda waktu dia bersama rekannya datang ke kantor dan inilah
pemecahannya yang akan saya bagikan juga kepada pembaca.

Misal yang akan dicari (abc) akar pakat tiga dari bilangan asal
822.656.953

. Untuk menyelesaikannya dibutuhkan tabel pangkat tiga seperti di bawah
ini.

Tabel :

Angka : 0 1 2 3 4 5 6 7 8
9

Pangkat tiga : 0 1 8 27 64 125 216 343
512 729

Urutan angka yang akan dicari adalah nilai a kemudian c dan terakhir b.

Mencari nilai a, yaitu dengan membagi bilangan asal dengan sejuta, ambil
bilangan lebih besar dari nol (822). Bandingkan dengan tabel dan pilih
yang terdekat tetapi masih lebih kecil (729), hasilnya nilai a = 9.

Mencari nilai c, yaitu membandingkan satuan bilangan asal (3) dengan
angka yang ada ditabel, dipilih yang punya satuan sama (343), yaitu c =
7.

Mencari nilai b.

Langkah pertama :

Kuadratkan nilai c = 7 diperoleh 49, cukup dipilih satuannya saja yaitu
9.

Langkah kedua :

Hasil langkah pertama dikalikan dengan angka tiga diperoleh 27, cukup
dipilih satuannya saja yaitu 7.

Langkah ketiga :

Ambil angka puluhan dari bilangan asal (5) kemudian dikurangkan dengan
angka puluhan dari pangkat tiga nilai c (4), diperoleh hasil satu (1),
bila hasilnya negatip tambahkan dengan bilangan sepuluh.



Langkah keempat :

Bila hasil pada langkah ketiga (1) lebih kecil daripada hasil pada
langkah kedua (7), maka tambahkan bilangan hasil yang telah diperoleh
pada langkah ketiga dengan bilangan puluhan (sepuluh, duapuluh,…)
hingga hasilnya bisa dibagi dengan 7. Akhirnya hasil langkah ketiga
ditambah dengan duapuluh sehingga dihasilkan 21, hasil pembagian ini
(21:7) merupakan nilai b yang dicari yaitu b = 3. Jadi akar pangkat tiga
dari 822.656.953 adalah abc = 937 (bilangan prima).



Bila dicermati cara penyelesaian dengan metris jauh lebih mudah
dibandingkan dengan pohon faktor, pembaca juga dapat belajar gratis
tentang metris lainnya di situs www.sigmetris.com
bagian artikel dan
http://groups.yahoo.com/group/metode_horisontal


Contoh lain bilangan prima : 197, 269, 317, 463, 571, 659, 743, 839, 967
dll.



Penulis : Stephanus Ivan Goenawan

Penemu Metris

Read More

Memikat dengan Rumus

Fakta menunjukkan bahwa di negeri kita saat ini banyak tumbuh dan bermunculan lembaga-lembaga yang menamakan dirinya sebagai lembaga bimbingan belajar. Atau, saya lebih senang menyebutnya sebagai lembaga bimbingan tes. Utamanya, lembaga semacam ini menawarkan jasa pada siswa-siswa sekolah berupa iming-iming keberhasilan dalam menempuh ulangan umum sekolah, ujian akhir sekolah, ujian akhir nasional, ataupun ujian masuk perguruan tinggi (negeri).

Yang dilakukan lembaga-lembaga bimbingan tes untuk menyedot siswa agar “bergabung” dengan mereka biasanya adalah dengan cara menawarkan strategi-strategi praktis dalam menghadapi tes, ulangan, ataupun ujian. Strategi-strategi praktis itu bisa berupa: stategi menjawab soal-soal, atau juga penggunaan rumus-rumus “cepat” untuk menyelesaikan soal-soal khususnya pelajaran matematika atau IPA (fisika ataupun kimia).

Dari ngobrol-ngobrol dengan beberapa siswa yang pernah menjadi peserta di lembaga bimbingan tes, saya memperoleh beberapa informasi penting. Katanya, yang paling membuat mereka tertarik “bergabung” adalah karena di bimbingan tes mereka dilatih untuk menyelesaikan soal-soal (baik matematika, fisika, kimia atau yang lainnya) dengan menggunakan rumus-rumus “cepat”. Sehingga dalam waktu singkat dapat menyelesaikan soal-soal yang diujikan. Selain itu, mereka juga dilatih tips and trik menjawab berbagai jenis soal. Pokoknya katanya, cara menjawab soal-soal yang dilatihkan itu sangat berbeda ketimbang yang diajarkan di sekolah. Di sekolah, misalnya untuk menjawab soal A perlu proses yang panjang dan berliku, sedang di bimbingan tes soal A dapat diselesaikan hanya dalam satu atau dua baris langkah pengerjaan saja.

Sedangkan dari beberapa diktat yang dikeluarkan lembaga-lembaga bimbingan tes tersebut saya pun bisa dapatkan informasi penting lainnya. Dari pengamatan saya, isi diktat-diktatnya berupa: rangkuman materi + rumus-rumus “biasa” + rumus-rumus “cepat” dan ratusan hingga ribuan latihan soal-soal beserta kunci jawabnya. Namun sayang, kata teman saya yang merupakan pengajar di salah satu bimbingan tes ternama di negeri ini, rumus-rumus “cepat” yang tertulis di diktat-diktat tersebut hanyalah rumus-rumus “cepat” yang sudah beredar secara luas. Sedangkan rumus-rumus “cepat” yang super “cepat” tetap dirahasiakan, tak dipublikasikan untuk umum. Hanya para perancang rumus, pengajar, dan siswa-siswa yang “bergabung” di tempat mereka saja yang tahu. Lebih lanjut katanya, masing-masing lembaga bimbingan tes mempunya rumus-rumus super “cepat” sendiri-sendiri hasil kreasi tim mereka, yang tentunya saling mereka rahasiakan.

Dari uraian di atas, tampaknya faktor penggunaan rumus-rumus “cepat” bagi suburnya perkembangan lembaga bimbingan tes cukup sentral, sangat penting. Walau mungkin bukanlah faktor utama. Sehingga, dapat dikatakan bahwa penggunaan rumus-rumus “cepat” bisa dijadikan salah satu faktor penting untuk memikat siswa agar mau “bergabung” mengikuti bimbingan tes.

Bicara tentang rumus-rumus “cepat” dan penggunaannya untuk menjawab tes, ada pro dan kontranya. Banyak yang pro tapi tak sedikit juga yang kontra. Dari hasil pengamatan pribadi dan ngobrol-ngobrol, saya bisa menuliskan beberapa alasan pihak yang pro dan yang kontra tersebut seperti berikut ini.

Beberapa alasan orang-orang yang pro terhadap penggunaan rumus-rumus “cepat” (matematika, fisika, kimia) itu di antaranya:

Membantu siswa dengan cepat berhasil dalam menjawab tes (ulangan, ujuan sekolah, ujian masuk perguruan tinggi).

Sulit untuk dimungkiri bahwa dengan adanya rumus-rumus “cepat” banyak siswa yang terbantu dalam menjawab soal-soal tes dengan cepat. Membantu siswa melewati “jembatan” kelulusan sekolah. Pun membantu mengantar para siswa meraih cita-citanya untuk masuk ke perguruan tinggi idamannya.

Sebagai contoh, perhatikan satu soal berikut:

Soal: Jika f(x) = \frac{x+1}{2x-3} maka f^{-1} (2x-1) =….

Bila kita menggunakan cara biasa, perlu lebih dari tiga “baris = langkah” untuk menyelesaikannya. Sedangkan bila memakai rumus “cepat” soal semacam ini bisa diselesaikan hanya dengan dua “baris =langkah” pengerjaan.

Dengan contoh-contoh penggunaan rumus-rumus “cepat” semacam ini, siswa mana yang tak terpikat menggunakannya?

Membantu pemerintah untuk mengurangi pengangguran.

Bagaimana bisa penggunaan rumus-rumus “cepat” bisa membantu mengurangi pengangguran? Seperti yang sudah diuraikan di atas, dengan adanya rumus-rumus “cepat” perkembangan bimbingan tes makin subur. Nah, karena saking tumbuh suburnya, tentu lembaga-lembaga ini butuh tenaga pengajar. Karena itulah banyak lulusan perguruan tinggi yang belum dapat pekerjaan biasanya dengan rela hati menjadi pengajar atau perancang soal di lembaga semacam ini. Sementara mencari pekerjaan tetap, mereka bisa sambil bekerja di lembaga-lembaga bimbingan tes. Bahkan banyak juga yang akhirnya memutuskan untuk menjadi pengajar saja, dan (mungkin) pelan-pelan melupakan bidang keahliannya yang pernah ditekuninya semasa di perguruan tinggi dulu. Selain pengajar atau perancang soal, tentunya sang pemilik lembaga semacam ini sebagai pelaku busines juga terbantu. Mereka punya lahan baru dalam dunia beginian. Busines dalam di dunia pendidikan.

Meningkatkan kreativitas perancang rumus-rumus “cepat”, pembuat soal, dan para “businessman” pendidikan.

Biasanya, para perancang rumus-rumus “cepat” atau pembuat soal itu adalah orang-orang luar biasa di bidangnya. Mungkin sebelum adanya lembaga bimbingan tes, rumus-rumus “cepat” hasil kreasi mereka hanya dipakai untuk kalangan pribadi. Tapi kini, dengan adanya lembaga bimbingan tes, kreasi mereka tersalurkan. Mereka semakin tertantang untuk menemukan umus-rumus “cepat” baru untuk menjawab soal. Mereka juga terpacu membuat soa-soal baru yang mungkin hanya bisa diselesaikan dengan rumus-rumus baru temuan mereka. Untuk menambah kredibilitas lembaga bimbingan tes, tak sungkan-sungkan para perancang rumus-rumus “cepat” atau pembuat soal itu oleh sang businessman diambil dari kalangan perguruan tinggi (ternama).

Para businessman pendidikan pun akan makin terpacu untuk memasarkan jasa mereka ke konsumen. Dengan segenap kemampuan, mereka menggembor-gemborkan jasanya. Tentunya kreativitas dan strategi pemasaran sangat dibutuhkan dalam hal ini.

Mungkin saja Anda yang pro terhadap penggunaan rumus-rumus “cepat” ini mempunyai alasan lain. Silakan menambahinya di kolom komentar!

Sedangkan bagi mereka yang kontra alias tak setuju dengan penggunaan rumus-rumus “cepat” juga mempunyai alasan-alasan. Beberapa alasan tersebut di antaranya seperti berikut ini.

Menjerumuskan siswa ke jurang kebodohan

Bila dilihat sepintas, penggunaan rumus-rumus “cepat” sepertinya cukup membantu siswa untuk berhasil dalam ulangan ataupun ujian. Namun, sebenernya seringkali bisa menjerumuskan siswa ke jurang kebodohan bila penggunaannya tak dilandasi oleh pemahaman, hanya mengandalkan hafalan rumus tanpa pengertian. Ini artinya, proses berfikir tak begitu diperhatikan, tidak dianggap penting. Akibatnya siswa-siswa terbiasa cepat ingin ketemu hasil akhir, maunya serba instant, ingin mudah dan cepat tanpa mau bersusah payah.

Secara ekstrem, ada kawan saya yang mengatakan bahwa penggunaan rumus-rumus “cepat” harusnya dilarang keras, karena sebenarnya merupakan cara-cara yang mengarah pada pembodohan generasi penerus bangsa. Juga katanya, mungkin saja benar bahwa dengan menggunakan rumus-rumus “cepat”, banyak siswa terbantu bisa masuk perguruan tinggi idamannya. Tapi, bantuan yang diberikan itu sangat tanggung, setengah-setengah. Ibaratnya, setelah siswa diantar masuk perguruan tinggi misalnya, siswa dibiarkan begitu saja, dibiarkan terjerumus, dibiarkan secara tak bertanggung jawab.

Di satu kesempatan lain, saya pernah mendengar cerita bahwa di salah satu perguruan tinggi, siswa-siswa produk bimbingan tes yang terbiasa menggunakan rumus-rumus “cepat” tanpa dilandasi pemahaman banyak yang kesulitan mengikuti perkuliahan, bahkan banyak di antara mereka terpaksa DO (Drop Out) tak sanggup mengikuti materi perkuliahan. Sedangkan siswa-siswa yang secara alami tak tercemar oleh bimbingan tes justru berhasil dengan baik dalam belajarnya.

Merusak tercapainya tujuan pendidikan

Tujuan pendidikan secara umum, biasanya tertuang di kurikulum pendidikan, ringkasnya adalah, “untuk mengembangkan sumberdaya manusia yang kreatif, konstruktif, produktif, bertanggung jawab, berdisiplin, beriman dan bertakwa.” Nah, apakah dengan penjejalan penggunaan rumus-rumus “cepat” pada siswa tanpa dilandasi pengertian memungkinkan tercapainya tujuan tersebut?

Bagi pembaca yang kontra alias tak setuju dengan penggunaan rumus-rumus “cepat” silakan menambahi alasannya!

Nah, kalau saya sendiri termasuk yang pro atau yang kontra nih? :D

Ya sudah segitu dulu saja, sampai jumpa di tulisan berikutnya.

Catatan: Rumus-rumus cepat yang saya maksud bisa berupa rumus-rumus cepat dalam matematika, fisika, kimia, atau mata pelajaran lainnya.

Read More

Mengeksplorasi Teka-teki Angka

Suatu bilangan terdiri dari empat angka. Angka pertama nilanya sama dengan angka kedua ditambah angka ketiga. Angka pertama juga sama nilainya dengan angka keempat ditambah satu. Begitupula angka kedua ternyata nilainya sama dengan angka ketiga ditambah satu. Bila angka keempat sama dengan dua kali angka ketiga, maka berapa bilangan (empat angka) tersebut?

Teka-teki semacam ini banyak kita temukan dalam buku-buku TTS* atau TTA (Teka-teki Angka) yang sering dijual di kios-kios koran di pinggir jalan. Biasanya para konsumen kedua jenis buku ini adalah mereka-mereka yang punya banyak waktu luang dan suka iseng mengisi waktunya. Ketimbang bengong tak bermanfaat, mending mengisi TTS atau TTA. Begitu barangkali alasannya. Betul ga?

Dulu, ketika melihat banyak orang yang begitu asyik mengerjakan TTS ataupun TTA, saya jadi tergoda. Ya, saya tergoda untuk mengerjakannya pula. Kemudian dapat ditebak, saya pun membeli kedua jenis buku ini. Satu buku TTS dan satu buku lagi TTA.

TTS sudah biasa! Ya, saya biasa mengalami kesulitan untuk mengisi semua kotak-kotak kosong yang tersedia. :mrgreen: Mungkin karena tak terbiasa ataupun karena pengetahuan saya yang minim. Makanya sukar bagi saya bisa mengisi keseluruhan kotak kosong dalam sebuah TTS.

Kemudian buku TTA saya buka. Saya lihat-lihat. Satu jenis teka-teki yang ada dalam buku TTA yang saya beli yakni seperti teka-teki angka pada contoh di atas. Ketika membaca teka-teki semacam contoh tersebut, saya melihat sebetulnya teka-teki semacam itu menggunakan konsep matematika sederhana yang pernah saya kita pelajari sewaktu di SMP dan SMA, yaitu tentang sistem persamaan linear. Tetapi, setelah dipikir-pikir, untuk menyelesaikan teka-teki angka semacam itu, kita tak harus tahu sistem persamaan linear. Cukup dengan cara coba-coba alias trial and error bila kita beruntung, maka kita akan dapat memecahkan teka-teki tersebut.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan teka-teki di atas dengan cara coba-coba seperti berikut ini.

Suatu bilangan terdiri dari empat angka. (Kita ingat-ingat, berarti bilangannya ada empat digit/angka. )

Angka pertama nilanya sama dengan angka kedua ditambah angka ketiga. (Kita pilih angka pertama misalkan 5 = .... Kita ingat-ingat juga angka ini merupakan jumlah dari angka kedua dan ketiga, ini berarti angka kedua atau ketiga nilanya lebih kecil atau sama dari angka pertama.)

Angka pertama sama nilainya dengan angka keempat ditambah satu. (Karena tadi kita sudah pilih angka pertama adalah 5, maka dari keterangan ini dapat kita tentukan angka keempat yakni 4, sebab 5 = 4 + 1).

Begitupula angka kedua ternyata nilainya sama dengan angka ketiga ditambah satu. (Karena angka kedua dan ketiga lebih kecil dari angka pertama, kita pilih angka kedua itu 3. Sehingga, angka ketiga berarti 2, sebab 3 = 2 + 1.)

Bila angka keempat sama dengan dua kali angka ketiga, (Kita sudah tahu angka keempat yaitu 4 dan ini cocok dengan pilihan kita tentang angka ketiga, yakni 4 = 2 \times 2.

maka berapa bilangan (empat angka) tersebut?

Maka jawabnya, bilangan empat angka itu adalah 5324.

Dengan cara coba-coba, ternyata kita dapat memecahkan teka-teki angka tersebut. Jawabannya yaitu 5324. Tetapi sebentar, jangan gembira dulu, apakah ini satu-satunya jawaban?

Ternyata tidak! Setelah dipikir-pikir, ternyata bilangan 3212 juga memenuhi persyaratan teka-teki tersebut. (Silakan periksa! :D ). Ternyata juga bilangan 1100 memenuhi persyaratan teka-teki angka tersebut.

Lho, kok bisa banyak jawaban begini ya?

Sebetulnya banyak jawaban tidaklah bermasalah. Malah teka-teki tersebut tergolong sangat bagus. Satu permasalahan dengan banyak alternative jawaban. Istilah kerennya, teka-teki yang bersifat open-ended.

Pertanyaannya, ada berapa banyak alternative jawaban dari teka-teki angka tersebut?

Nah, di sinilah peran konsep matematika diperlukan! Dengan menggunakan konsep matematika, kemungkinan besar kita akan tahu alasan kenapa banyak jawaban. Dengan itu pula mungkin sekali kita tahu semua alternative jawabannya. Karena itu mari kita selesaikan teka-teki angka tersebut dengan konsep sistem persamaan linear seperti berikut ini.

Misalkan bilangan itu adalah abcd.

Maka sesuai keterangan pada teka-teki di atas, diperoleh sistem persamaan linear berikut ini.

a = b + c

a = d + 1

b = c + 1

dan d = 2c.

Dengan mudah, bila kita pilih c = 1, maka kita akan peroleh d = 2\times 1 = 2, b = 1 + 1 = 2, dan a = 2 + 1 = 3. Sehingga bilangan sebagai satu alternative jawaban teka-teki angka di atas adalah abcd = 3212.

Begitu pula bila kita pilih c = 2, maka akan kita dapatkan d = 2\times 2 = 4, b = 2 + 1 =3, dan a = 3 + 2 = 5. Sehingga jawaban lain dari teka-teki di atas adalah abcd = 5324.

Dengan memilih nilai c yang lain, maka kita akan dapatkan jawaban lain dari teka-teki angka tersebut. Silakan cari sendiri yaaa….

Nah, asyik bukan? :D

Sekarang, sebagai bahan latihan bagi kita Anda semua, silakan buat teka-teki angka semacam di atas, kemudian silakan jawab sendiri, silakan eksplorasi sendiri teka-teki angka buatan Anda! Selamat mencoba! I hope you enjoy doing mathematics. And, in a similar way, I hope you can not stop loving me mathematics. :mrgreen:

========================================================

Segitu dulu ya perjumpaan kita kali ini. Mudah-mudahan artikel ini bermanfaat bagi kita semua. Amin. Sampai jumpa di artikel mendatang.

Catatan: *TTS = Teka-teki Silang

Read More

Matematika Romantis (Part 1)

Di ruang kuliah, saat jeda sejenak, sambil tersenyum ramah seorang dosen matematika berkata pada para mahasiswa dan mahasiswinya.

“Kata orang, kita belum dikatakan sebagai matematikawan sejati kalau belum mampu berkarya sastra, menulis puisi yang romantis misalnya.”

“Kenapa begitu, Pak?” celetuk seorang mahasiswi, sengaja iseng bertanya agar dosennya lupa melanjutkan perkuliahan dan berharap berlama-lama membahas tentang hal yang barusan dikatakannya.

“Ya, tentu ada alasan yang masuk akal kenapa seorang matematikawan belum dikatakan sebagai matematikawan sejati bila belum mampu menulis karya sastra,” kata sang dosen sambil berpikir mencari-cari pembenaran.

Sementara itu para mahasiswa diam terkesima, sepertinya menunggu alasan logis yang akan dikatakan dosen mereka, Pak Zero namanya.

“Kata orang, karya sastra bisa jadi merupakan bentuk capaian puncak intelektualitas seseorang. Karenanya, wajar belum dikatakan matematikawan sejati bila belum bisa berkarya sastra,” begitu alasan yang keluar dari mulut sang dosen.

***

“Ah, pasti si bapak sering baca artikel-artikel yang ada di blog Bicara Matematika. Makanya dia bisa bicara begitu,” kata Tom, salah seorang mahasiswa Pak Zero, sambil berbisik pada teman duduk di sebelahnya.

“Iya, sepertinya dia pernah baca artikel Gadis Manis di Jendela,” Jerry membenarkan perkataan Tom.

***

“Pak, kalau begitu coba dong beri kami contoh puisi buatan bapak,” kata mahasiswi tadi dengan rasa kepingin yang tinggi. Karena sebetulnya dia naksir berat dengan Pak Zero, yang kebetulan masih bujangan. :mrgreen:

Sambil tersenyum, berpikir, kemudian Pak Zero menulis–di papan tulis –sebuah puisi berikut ini. Sebetulnya puisi ini sengaja dibuat untuk seorang mahasiswi yang ditaksirnya, ada di ruang kuliah tersebut.

Ragukan bahwa 2 + 2 = 4

Ragukan bahwa 2 \times 2 = 4

Ragukan bahwa 2^2 = 4

Tapi, jangan ragukan bahwa hanya padamu hatiku terpikat

“Ough…. so sweeeeet!!! Romantis bangeeeets!!!” begitu gumam para mahasiswi yang naksir berat pada Pak Zero, termasuk mahasiswi yang selalu bertanya-tanya tadi.

“Waauw, gombal bangeeeets!!!” gerutu para mahasiswi yang juga tidak terlalu naksir, tapi sudah sangat berpengalaman dalam hal pacaran. Sedangkan para mahasiswa hanya tersenyum-senyum, sedikit tertawa, kagum pada dosennya.

Sementara itu sang mahasiswi yang ditaksir oleh Pak Zero hanya bisa diam. Tersipu. Antara senang yang membuncah dan malu yang menyelimut. Tampak bersemu merah parasnya. Manis senyumnya. Cantik!

“Mmm… puisi romantis dari seorang yang biasa kaku dengan angka-angka,” gumam dalam hati sang mahasiswi dambaan hati Pak Zero.

Selanjutnya, Pak Zero mengulas panjang lebar puisi buatannya. Para mahasiswa menyimak sambil cengar-cengir, tersindir sekaligus terpesona membenarkan perkataan dosennya. Hingga waktu kuliah usai.

***

Di ruang kerjanya, saat istirahat, Pak Zero mengirim pesan singkat, alias sms*, pada mahasiswi yang sudah lumayan lama ditaksirnya tadi. Pak Zero tahu nomor ponsel sang mahasiswi karena sang dambaan hati pernah menghubunginya, saat terlambat mengumpulkan tugas. :D

Puisi tadi saya buat khusus untukmu.

Singkat, penuh makna. Begitulah isi sms yang dikirim Pak Zero yang tetap menjaga kesantunan.

Belum lama pesan tadi terkirim. Tiba-tiba ada pesan masuk.

Pak Zero deg-degan, GR, berharap sms yang masuk dari gadis yang ditaksirnya.

Pak, puisi yang tadi di kelas, buat saya ya…? Tukeran dong… :-) :-) *Duh maluuuu… kabur aaaaaah….*

Demikian isi pesan singkat barusan. Tak ada nama pengirim. Tapi Pak Zero menduga bahwa sms tersebut berasal dari salah seorang mahasiswinya. Antara senang, GR, malu, berbaur tidak karuan. Tapi sayang, sms tersebut bukan dari mahasiswi yang ditaksirnya.

Iseng-iseng, Pak Zero membalas sms tersebut. Sekedar menghargai penggemar rahasianya agar tidak menyakiti hati orang. :D

Dituker pake apa?

Begitu jawabannya, cukup diplomatis, pura-pura tidak mengerti… :D :mrgreen:

Selang beberapa saat, setelah membalas sms gelap tadi, berulang kali ponsel Pak Zero bergetar, menerima berulang-ulang sms dari sang pengirim gelap tersebut. Isinya macam-macam: puisi, pantun, dan ungkapan keterpesonaan, cinta, kekaguman sang pengirim pada Pak Zero. Tapi, Pak Zero bergeming, dingin, tidak menanggapi.

Pak Zero hanya berharap mendapat balasan dari sang mahasiswi yang ditaksirnya. Sayang, untung tak dapat diraih, malang tak dapat ditolak. Seharian dia menunggu, tak juga ada balasan sms dari sang gadis kekasih hati, harapan cintanya.

Apakah ini berarti cintanya ditolak?

***

Beberapa hari kemudian, ponsel Pak Zero bergetar. Senang, gembira, malu, GR, dag-dig-dug bersatu mengaduk-aduk hatinya. Empat pesan yang saling menyambung diterima dari sang mahasiswi dambaan hati, sang gadis impian– seperti berikut ini.

Assalamu’alaikum.

Pak Zero, bapak adalah dosen yang saya kagumi; Dosen yang mampu menginspirasi saya untuk terus berprestasi; Dosen yang memberi teladan bagaimana caranya mengejar cita-cita, membahagiakan kedua orang tua.

Mmmm….

Terimakasih atas puisinya. Romantis! Saat membacanya, saya merasakan sebuah ledakan perasaan yang dahsyat dari hati bapak. Ungkapan hati yang meluap-luap. Ungkapan jujur dari satu jiwa yang mendamba potongan terbaik mozaik hidupnya.

Tapi, bapak perlu tahu, saya hanyalah gadis biasa, mungkin tak seperti yang bapak angankan.

Mmmm…

Saat ini saya masih ingin menjaga hati dalam bentuk dan warna yang sama. Warna merah hati biasa. Bukan merah jambu yang bapak tunggu. Belum saatnya saya mengiris hati ini, membelahnya untuk orang lain. Hanya waktu yang akan menjawab: kapan dan untuk siapa hati ini saya berikan.

Maaf,

Wassalamu’alaikum.

Bersambung…

=======================================================

Ya sudah, sampai di sini dulu ya perjumpaan kita kali ini? Mudah-mudahan cerpen ini ada manfaatnya. Amin.

Sampai jumpa di artikel mendatang!

Catatan:

-*sms = short message service = layanan pesan singkat

- Saya ucapkan terimakasih pada pihak-pihak yang mengijinkan beberapa kata atau kalimatnya tersisip indah dalam cerpen ini. Mohon maaf bila pemilihan kata yang ada kurang berkenan, baik dari segi kebahasaan ataupun kesopan-santunan. Mohon kritik dan saran konstruktif dari Anda sekalian. Terimakasih!


-Peringatan keras: cerpen ini hanya cocok dibaca oleh Anda yang berusia lebih dari 17 tahun. Bagi yang masih di bawah umur, sangat dianjurkan untuk minta bimbingan orang tua atau guru.

Read More

Teknik Cara Berhitung Cepat Akar Kuadrat dengan Matematika Kreatif

Banyak cara untuk menentukan akar kuadrat dari suatu bilangan. Dari banyak cara ini, kita perlu memilih mana yang paling tepat dan sesuai bagi kita atau anak-anak kita.

Kami terus mengadakan riset bagaimana cara yang paling asyik untuk menghitung akar kuadrat. Kami berbahagia karena telah menemukan cara menghitung akar kuadrat dengan permainan. Anak-anak usia dini, usia 4 atau 5 tahun, dapat memainkan permainan ini dengan bonus dapat menghitung akar kuadrat.

Mari kita coba pelajari berbagai macam cara menghitung akar kuadrat.

1. Cara coba-coba. Ini adalah cara paling umum untuk menyelesaikan hitungan akar kuadrat. Cara ini sangat cocok bagi anak-anak, kita, yang telah lancar menghitung kuadrat atau perkalian.

Misal kita akan menghitung akar (kuadrat) dari 64.

Maka kita coba 5×5 = 25 (terlalu kecil).
Coba 9×9 = 81 (terlalu besar).
Coba 7×7 = 49 (terlalu kecil).
Coba 8×8 = 64 (betul).

Jadi kita peroleh akar 64 adalah 8.

2. Cara faktorisasi. Cara ini cukup menarik dan taktis. Misal, berpakah akar dari 64?

Maka 64 = 2×32 = 2×2x16 = 4×16
Maka
akar 64 = akar 4 x akar 16
= 2 x 4
= 8 (Selesai).

Cara faktorisasi ini sangat berguna sampai pelajaran matematika tingkat tinggi. Ketika duduk di bangku SMA, kita sering menggunakan cara faktorisasi. Ketika kuliah kalkulus, kita juga sering menggunakan cara faktorisasi.

Misal, berapa akar dari 72?
Maka
72 = 9×8 = 9×4x2
Jadi akar 72 = 3×2x akar 2
= 6akar2 = 6√2.

3. Cara pendekatan. Cara ini adalah variasi dan lanjutan dari cara coba-coba. Setelah berlatih beberapa kali, kita akan sangat mahir dengan cara ini. Cara pendekatan ini sangat dahsyat untuk menghitung akar yang nilainya cukup besar.

Misal, berapakah akar dari 1681?

Pendekatan paling masuk akal adalah 40×40 = 1600.

Karena satuan dari 1681 adalah 1 maka satuan dari akarnya tentu 1 atau 9. Dalam hal ini kita memilh 1. (Mengapa?).

Jadi kita peroleh jawaban 40+1 = 41

Misal, berapakah akar dari 3364?

Pendekatan paling masuk akal adalah 50×50 = 2500.
(sedangkan 60×60 = 3600, terlalu besar).

Karena satuan dari 3364 adalah 4 maka satuan dari akarnya adalah 2 atau 8. Dalam hal ini kita memilih 8. (Mengapa?)

Jadi kita peroleh jawaban 50+8 = 58.

4. Dan lain-lain. Tentu masih banyak cara yang dapat kita lakukan untuk menghitung akar kuadrat. Teruslah berkreasi. Temukan cara yang paling sesuai untuk anak Anda.

Bagi siswa-siswa, materi menarik akar kuadrat termasuk materi yang sangat disukai. Menarik akar tampak seperti sulit. Tetapi begitu paham caranya ternyata sangat mudah. Apa lagi bila belajarnya sambil bermain. APIQ juga mengembangkan cara menarik akar pangkat 3 (akar kubik) yang asyik.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(Asdhar Amir: Pendiri YAT)

Read More