Barisan Bilangan “Kelinci”

Oleh: Al Jupri

Perhatikan barisan bilangan berikut ini!

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

Ya, barisan bilangan seperti ini sering kita jumpai pada saat mengikuti psikotes, bagian tes melengkapi bilangan. Bagi kita yang mempunyai number sense cukup baik, biasanya tak sukar melengkapi barisan bilangan tersebut. Tetapi, bagi yang “mual” melihat barisan bilangan semacam itu, biasanya agak kesulitan melengkapinya.

Terlepas apakah kita merasa suka ataupun tidak dengan barisan bilangan, di sini saya akan bercerita sekitar barisan tersebut dan juga asal-muasalnya. Mau tahu? Kalau mau, mari kita simak bareng-bareng! (Jangan dijawab mari ya! :mrgreen: ).

Pertama kali saya mengenal barisan bilangan tersebut ketika saya baru duduk di bangku SMP kelas 3, sekitar tahun 1997, pada saat pelajaran matematika. Kata guru matematika saya, barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... disebut sebagai barisan bilangan Fibonacci. Waktu itu yang dipelajari hanyalah sifat-sifatnya alias aturan tentang barisan bilangan tersebut.

Seperti apa sih aturannya?

Aturannya yaitu, diberikan dua bilangan awal yakni 1 dan 1. Bilangan berikutnya diperoleh dengan cara menjumlahkan dua bilangan sebelumnya. Dalam hal ini bilangan 2 diperoleh dari penjumlahan dua bilangan sebelumnya yaitu 1 + 1. Bilangan 3 diperoleh dari 1 + 2 . Begitu seterusnya! Secara sederhana, lebih jelasnya seperti berikut ini.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

Dengan

2 = 1 + 1

3 = 1 + 2

5 = 2 + 3

8 = 3 + 5

Dan seterusnya!

Sehingga, dengan relatif mudah, bilangan setelah 21 adalah 13 + 21 = 34. Mudah bukan? :D

Sebetulnya saat belajar barisan bilangan Fibonacci ini saya sedikit bertanya tentang Fibonacci. Siapa Fibonacci itu? Kenapa muncul barisan semacam itu? Tetapi saya tak menanyakannnya ke guru saya. Seingat saya, beliau hanya mengatakan bahwa Fibonacci itu adalah seorang matematikawan. Tetapi tak lebih lanjut bercerita tentangnya dan juga tak bercerita kenapa barisan tersebut muncul. Tidak berceritanya beliau, mungkin karena belum tahu atau mungkin juga karena beliau menganggap cerita tentang Fibonacci itu tidak penting.

Waktu terus berjalan. Detik, menit, jam, hari, minggu, bulan, dan tahun pun terus “merangkak”. Rentetan “kebetulan” pun kemudian terjadi!

Ketika saya menjadi mahasiswa baru, sekitar tahun 2000-an, saya ditanya-tanya (diospek) oleh kakak tingkat tentang barisan bilangan Fibonacci ini. Waktu itu pertanyaannya sederhana saja, yaitu disebut apa dan bagaimana aturan barisan bilangan tersebut? Dan alhamdulillah, karena sudah dipelajari sewaktu SMP, saya pun bisa menjawabnya dengan mudah dan untuk sementara lepaslah dari jerat hukuman walau selanjutnya dipaksa push up juga. :D

Selanjutnya, sewaktu belajar Kalkulus dan juga Matematika Diskrit, saya pun mempelajari tentang barisan bilangan Fibonacci ini. Tentunya dengan kedalaman materi yang sesuai. Tetapi pertanyaan saya tentang siapa Fibonacci dan latar belakang muncul barisan itu belum terjawab! Ya belum terjawab dari segi historisnya.

Lagi-lagi kebetulan terjadi! Saya yang mulanya sudah cukup puas, dan kurang begitu hirau dengan latar belakang munculnya barisan Fibonacci ini, ditanya oleh teman saya tentang barisan ini. Dan menariknya, pertanyaannya sama dengan pertanyaan saya yang sudah sejak lama terpendam tersebut. Ketika ditanya, saya pun jujur menjawab belum tahu!

Selanjutnya, dan sepertinya sudah diatur, kebetulan berikutnya pun terjadi! Bersyukur, ternyata ada seorang teman saya yang lain yang sudah tahu latar belakang tentang barisan Fibonacci tersebut. Teman saya yang sebelumnya bertanya ke saya kemudian bertanya ke teman saya yang tahu tersebut. Saya sebetulya tidak terlalu hirau, namun sayup-sayup terdengar penjelasan teman saya (yang tahu tadi) bahwa latar belakang munculnya barisan Fibonacci adalah untuk menggambarkan pertumbuhan sepasang kelinci selama setahun, yang pertama kali diajukan oleh Fibonacci, matematikawan Italia yang hidup sekitar abad 12.

Selanjutnya, setelah mendengar kabar sayup-sayup tadi, saya pun jadi penasaran lagi. Dan tidak kebetulan lagi, saya waktu itu berniat mencari tahu tentang hal tersebut. Dari dunia maya ini, lewat bantuan mesin pencari, maka rasa ingin tahu saya pun terjawab!

Oh, iya. Seperti apa sih masalah yang diajukan Fibonacci tadi yang melatarbelakangi munculnya barisan bilangan tersebut?

Permasalahan yang diajukan oleh Fibonacci itu sederhananya seperti berikut ini.

Misalkan kita tempatkan sepasang kelinci muda (satu jantan, satu lagi betina) di sebuah padang rumput. Sepasang kelinci tersebut diasumsikan tumbuh jadi dewasa dan bisa kawin setelah mereka berumur satu bulan. Sehingga di akhir bulan ke dua, pasangan kelinci tadi melahirkan sepasang kelinci baru. Bila kita asumsikan bahwa kelinci-kelinci tersebut hidup ideal alias tidak lekas mati dan betina kelinci selalu melahirkan sepasang kelinci (satu jantan, satu betina) setiap bulan semenjak akhir bulan kedua tadi, maka akan ada berapa pasang kelinci kah dalam waktu setahun?*

Lalu, bagaimana memecahkan permasalahan ini?

Dengan relatif mudah, ternyata permasalahan tersebut dapat dijelaskan dan dijawab seperti tampak pada gambar* berikut ini



Keterangan Number of pairs (Banyaknya pasangan).

1 pasang: ketika awal bulan pertama (sepasang kelinci muda, baru mulai tumbuh jadi dewasa)

1 pasang: ketika akhir bulan pertama (sepasang kelinci muda tadi sudah dewasa dan mulai kawin)

2 pasang: ketika akhir bulan ke dua (sepasang kelinci tadi melahirkan sepasang kelinci lagi yang serupa)

3 pasang: ketika akhir bulan ke tiga (pasangan kelinci pertama melahirkan lagi sepasang kelinci muda baru, pasangan kelinci yang bulan lalu lahir mulai tumbuh dewasa).

5 pasang: ketika akhir bulan ke empat (pasangan kelinci pertama melahirkan sepasang kelinci baru, pasangan kelinci kedua pun melahirkan sepasang kelinci baru juga, sedangkan sepasang kelinci yang lahir bulan lalu baru tumbuh dewasa).

Dan begitu seterusnya! Sehingga, dengan sangat gampang, banyaknya pasangan kelinci tiap bulan tersebut digambarkan dengan barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,.... Lalu ada berapa pasang kelinci setelah setahun? (Silakan dijawab!) :D

Nah, karena barisan bilangan tersebut muncul gara-gara pertama kali, katanya, dikemukakan oleh Fibonacci maka disebutlah barisan tersebut sebagai barisan bilangan Fibonacci.

Akhirnya, karena saya melihat barisan bilangan Fibonacci tersebut menggambarkan banyaknya pasangan kelinci yang tumbuh berkembang di suatu padang rumput yang ideal, maka dengan sedikit becanda saya sebutlah barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... sebagai barisan bilangan “kelinci”.

Posted in: Matematika